微积分快速入门2部分:术语

4 术语

我们已经能够用类比(X 光、时空倒置)和图表来描述我们的思考过程:

然而,这是一种非常复杂的交流方式。

  • X-Ray (split apart)

X射线分割,术语为:求导数,符号:d/dr

  • Time-lapse (gluetogether)

延时摄影, 术语为:积分,符号:∫

  • Arrow direction

箭头方向, 术语为:就 “变量 ”进行积分或推导,符号:dr

  • Arrow start/stop

箭头开始/停止, 术语为:整合的界限或范围

  • Slice

区间, 术语为:积分器(被粘合的形状,如一个圆环),符号:等式如2πr

4.1 导数(The Derivative)

导数是我们用 X-Ray 扫描形状时得到的切片模式。它由黑色趋势线表示,可能是平的,也可能是持续上升的,还可能是上升和下降的,等等。这里有一个诀窍:虽然导数可以生成整个序列的切片,但我们也可以提取单个切片。

f ( x ) = x 2

上面描述了所有可能的平方值(1、4、9、16、25 等),我们可以在图表上绘制出所有这些平方值。它是我们在对一个图形进行 X 射线扫描后得到的完整切片模式。不过,我们也可以通过求导数在某一特定值时的值来提取单个切片。(导数是一个函数,数学家会认为你说的是整个函数,除非你问的是某个特定的切片)。

那么,我们需要什么来求导数呢?只需要要分割的形状,以及分割时要遵循的路径(橙色箭头)。术语是 “求 <某个图案> 相对于 <某个方向> 的导数”。例如

  • 圆相对于半径的导数会产生圆环(圆环总是增加的)
  • 圆相对于周长的导数产生切片(大小相等)
  • 圆相对于 x 轴的导数会产生板(板会变大,达到顶峰,然后变小)

求导数也叫 “微分”,因为我们是在寻找形状增长时连续位置之间的差值。当我们增大圆的半径时,外圈就是当前圆盘大小和下一个圆盘大小的差值。

4.2 积分、箭头和切片

积分是将一系列切片粘合在一起(时差)并测量最终结果。例如,我们将圆环粘在一起(形成一个 “圆环三角形”),可以看到它的累积值为

π r 2 ,也就是一个圆的面积。

下面是我们需要找到的积分:

  • 我们是沿着哪个方向把这些步骤粘在一起的?沿着橙色的线(这里是半径)
  • 何时开始,何时停止?箭头的起点和终点(我们从 0 开始,没有半径,然后移动到 r,全半径)
  • 每一步有多大?嗯......每个项目都是一个 “环”。这还不够吗?
    不够!我们需要具体一点。我们一直说要把一个圆切成 “环”、“披萨片 ”或 “板”。但这还不够具体,就像烧烤食谱上写着 "煮肉。根据口味调味"。

也许专家知道该怎么做,但我们需要更具体的内容。每个步骤(技术上称为 “积分”)具体有多大?

关于变量的几点说明:

  • 如果我们沿着半径r,那么dr是当前步骤中半径的一小块。
  • 圆环的高度是圆周长,或2πr

有几个问题需要注意。

首先dr是它自己的变量,而不是“d乘以r”。它代表当前步长中半径的一小部分。
接下来,如果是r积分中唯一使用的变量,那么dr就被假定为存在。因此,如果你看到

2 π r 这仍然意味着我们在做完整的 2 π r   d r .

最后,请记住r会随着时间推移而变化,从 0 开始,最终达到其最终值。当我们看到r时,它指的是 “当前步长下半径的大小”,而不是它最终的最终值。

这些问题非常令人困惑。我倾向于使用

r d r 表示半径, 遗憾的是,我们目前无法更改符号。

4.3 练习术语

请记住,导数只是将形状分割成(希望)易于测量的步骤,例如大小为2πr dr. 我们把乐高积木拆散了,碎片散落在地板上。我们仍然需要一个积分来将这些部件粘在一起,并测量出新的尺寸。这两条命令是一组:

  • 派生指令说:"好的,我帮你把形状拆开了。它看起来像一堆高2πr和dr宽"。
  • 积分说:"哦,这些碎片像一个三角形--我可以测量一下!这个三角形的总面积是
    ,算出
1 2 base height 。 下面是我们如何写积分来测量我们所做的步骤:

参考资料

5 小结

在前面的课程中,我们已经逐渐增强了自己的直觉:

  • 欣赏: 我认为可以把圆分割开来测量它的面积
  • 自然描述: 像这样从圆心向外把圆分割成几个圆环:

  • 描述:积分 2 * pi * r * dr,从 r=0 到 r=r

那么,导数呢,X-Ray 把模式转换成步骤?好吧,我们也可以这样要求:

与上面类似,计算机 X-Ray 了面积公式,并在移动过程中逐步拆分。结果是
,即每个位置的圆环高度。

5.1 观看运行

Wolfram Alpha(https://www.wolframalpha.com/) 是一个易于使用的工具:微积分问题的一般格式是

  • integrate [equation] from [variable=start] to [variable=end]
  • take derivative of [equation] with respect to [variable]

这有点啰嗦。这些快捷方式更接近数学符号:

  • \int [equation] dr - 整合等式(默认情况下,假设我们从r=0到r=r,取最大值)
  • d/dr 等式--对等式进行导数运算,以