微积分快速入门1部分:直觉

1 一分钟微积分:X射线和延时视觉

我们通常只看到图形、公式和情况的表面价值。微积分为我们提供了两种深入挖掘的超能力:

  • X射线

能看到图案中隐藏的部分。你不仅能看到树,还能知道它是由年轮组成的,在我们说话的同时,另一个年轮也在生长。

  • 延时视觉

你能看到物体未来的运行轨迹(很酷吧?) “嘿,那是月亮。接下来几天它都会是白色的,但到了第六天,它就会出现在低空,呈现出我喜欢的颜色。到时我要拍张照片。”

微积分有什么用呢?试想一下,如果我们拥有 X 光或延时视觉,就可以随意使用了。对于我们关心的物体或场景,它是如何组合在一起的?它会发生什么变化?

1.1 微积分十分钟: 逐步查看模式

X 射线和延时视觉有什么共同点?它们都是一步一步地观察图案。X光片显示的是内部的单个切片,而延时摄影则将每个未来状态放在旁边。

这似乎很抽象。让我们来看看圆周率、面积、表面积和体积的公式:

我们隐约感觉到这些公式之间有联系,对吗?

让我们打开 X-Ray 视角,看看这会带来什么。假设我们知道
我们想计算出面积公式。我们能做什么呢?

这是个棘手的问题。正方形很容易测量,但我们如何计算出一个不断弯曲的形状的大小呢?

微积分来帮忙。让我们用 X-Ray 的视角来认识圆盘,它其实就是一堆圆环组合在一起。与树干类似,这里也是 “逐步”查看圆的面积:

这个视角有什么帮助?好吧,让我们把这些卷曲的圆环展开成直线,这样就更容易测量了:

哇哦 我们有了一堆拉直的圆环,它们组成了一个三角形,这就更容易测量了。

我们的 X 射线视野显示,在一个弯曲的形状中存在着一个简单、易于测量的结构。我们意识到,一个圆和一组粘在一起的圆环其实是一样的。从另一个角度看,一个填满的圆盘其实只是一个圆环变大的 “时间推移”。

1.2 微积分能做什么呢?

还记得学习算术吗?你学会了如何算出一个数字,以及如何将它与其他数字结合起来(加/减、乘/除、取指数/根)。从技术上讲,数数并不是必需的,因为我们的穴居祖先没有数数也能 “很好 ”地生存。

但是,有了具体的数量概念,就能更容易地驾驭世界。你没有 “大 ”和 “小 ”的石头堆:你有精确的计数。你知道每个猎人可以得到多少支箭,或者采集的浆果是否足够部落食用。

更妙的是,算术为我们提供了超越严格计算的隐喻。它使我们对万事万物的描述更加清晰,让我们明确从辛辣程度和电影评分(1 到 5)到我们的心情(1 到 10)的一切。具体的测量是一个有用的想法,而且一旦看到就很难放弃。

微积分训练了我们两种新的隐喻:拆分和粘合。一个模式可以拆分成若干部分,而这些部分又可以逐步组合成完整的模式。

这种观点是生存所必需的吗?不是。但它很有趣。

数字和方程式描述了我们所拥有的一切,而微积分则解释了我们达到目标的步骤。我们看到的不仅仅是饼干,而是配方。

当然,微积分出现在科学中,是因为一步一步的蓝图比交给我们一个最终结果更有用。但在日常场景中,我们可以打开一个很好的视角: 是哪些步骤让我们走到这里的?这种方法有什么利弊吗?根据这些步骤,我们下一步该往哪里走?

2 练习X射线和延时视觉

微积分训练我们使用 X 射线和延时视觉,例如将圆重新排列成我们在上一章中看到的 “环形三角形”。这样一来,求面积......即使算不上轻而易举,也要容易得多。

但我们还是有点冒昧了。宇宙中的每一个圆都是由环构成的吗?

当然不是 我们比那更有创造力。下面是我们可以用 X-Ray 扫描圆圈的几种方法:

我们可以把圆想象成一组圆环、披萨片或竖板。每个蓝图都是不同的分步行动策略。

2.1 逐环分析

利用“延时”视角,想象逐环策略是如何随着时间的推移不断积累的:

  • 每个中间阶段本身就是一个完整的 “小圆”。也就是说,当我们完成一半时,我们仍然有一个圆,只是半径只有常规圆的一半。
  • 每步的工作量都在增加。想象一下,犁一块圆形的田地,分几天来完成。第一天,你从中心开始,一动不动。第二天,你转一个最窄的弯。然后开始绕圈,越绕越大,直到最后一天绕满整个院子。
  • 这项工作具有合理的可预测性,这可能有助于制定计划。如果我们知道每绕一圈要多花一分钟,那么绕第 20 圈就要花 20 分钟。
  • 大部分工作都发生在最后一圈。在延时摄影的前 25%,我们几乎没有成长:我们只是在增加小环。接近尾声时,我们开始增加长环,每个环都接近最终尺寸。

一棵大树必须从一棵完整的小树生长而来。采用逐环策略,我们总是在一个完整的、完全形成的圆的基础上生长。我们并不是先种好树的 “左半边”,然后再种右边。

事实上,许多自然生长过程(树木、骨骼、气泡等)都采用这种由内而外的方法。

2.2 逐片分析

现在思考一下逐片递进的过程。你会发现什么?

  • 我们每步的贡献都是一样的。更妙的是,各部分是相同的。这对数学来说可能无关紧要,但在现实生活中(例如切蛋糕),我们希望在切每一片时都使用相同的动作。
  • 因为切片是对称的,所以我们可以使用捷径,比如横切整个形状。在生成完全相同的组件时,这些 “流水线”加速方法非常有效。
  • 进度非常容易衡量。如果我们有 10 个切片,那么在第 6 个切片时,我们正好完成了 60%(按面积和周长计算)。
  • 我们沿着一条环形路径前进,从 “角度 ”的角度来看,我们从未走回头路。在雕刻圆环时,每一步都涉及整个 360 度。

食物就是其中之一。蛋糕、披萨、馅饼:我们希望每个人都能平等分享。切片很简单,我们可以获得很好的速度(横切蛋糕),而且很容易看到剩余的数量。想象一下,从馅饼上切圆形环,然后估算还剩多少。

再想想雷达扫描仪:它们的光束扫过一圈,“清除 ”一片天空后,再移动到另一个角度。这种策略确实会在您尚未覆盖的角度留下盲点,希望您能意识到这一点。

相比之下,潜艇或蝙蝠使用的声纳会发出一个向各个方向传播的声 “环”。这对近距离目标最有效(同时覆盖各个方向)。其缺点是,由于初始能量被分散到更大的环上,因此越远的地方,非聚焦传播就越弱。我们使用扩音器和天线将信号聚焦成波束(薄片),以获得最大范围的能量。

从逻辑上讲,如果我们要从一组薄片(就像纸扇的折叠部分)中构建一个圆形,那么每个部分都完全相同会很有帮助。找出制作单个切片的最佳方法,然后批量生产。更妙的是:如果一个部分可以折叠,那么整个形状就可以折叠起来!

2.3 逐板分析

  • 这是一个非常机械的模式,棋盘从左到右整齐排列。
  • 每一步的贡献都从很小开始,逐渐变大,在中间达到最大,然后又开始缩小。
  • 我们的进展有点难以预测。当然,在中途,我们已经完成了半圈,但模式时高时低,难以分析。相比之下,每一圈的图案每次变化的量都是一样的,总是在增加。很明显,后面几环的工作量最大。在这里,似乎是中间部分在做最繁重的工作。

首先是甲板和木结构。在铺设木板时,我们不希望走回头路(尤其是涉及到其他步骤时,比如油漆)。就像一棵树的每一步都需要一个完整的圆一样,露台也坚持使用我们能在家得宝(Home Depot)找到的线性木板。

事实上,任何有严格 “流水线 ”的流程都可能使用这种方法:完成一个部分,然后进入下一个部分。想一想打印机,它必须在纸张通过时喷出图案(或者现在的 3d 打印机)。打印机只能看到一个位置一次,所以最好让它计数!

圆圈不一定是字面上的形状。它可以代表你要实现的目标,无论是锻炼计划还是心理咨询中要涉及的主题。

棋盘式方法建议你从小处着手,逐步提高,然后再慢慢降低。披萨片式方法可以忍受(每天都有相同的进步),但环形方法可能会打击士气:每走一步都需要付出比前一步更多的努力。

2.4 有条不紊

到目前为止,我们一直在使用自然描述来解释我们的想法: “取一堆圆环 “或 ”把圆切成披萨片"。这虽然传达了一个笼统的概念,但有点像用 “嘟-嘟-嘟 ”来描述一首歌--可能只有你自己知道你在说什么。不过,稍加整理就能让你的意图一目了然。

首先,我们可以解释一下如何将形状分成几个步骤。我喜欢想象一个小箭头,指示我们在切割每一块时的移动方向:

在我的脑海中,我沿着黄线移动,一边走一边喊着步骤(向前一步,做一个环,向前一步,做一个环......)。

虽然箭头显示了圆环的制作过程,但由于步骤被卡在圆圈里,所以很难想象出来。正如我们在第一课中看到的,我们可以把各个步骤拉出来,然后把它们排成一排:

我们画一个黑色箭头来显示每个台阶大小的变化趋势。很不错吧?我们一眼就能看出,环数在增加,而且每次增加的数量都一样(趋势线是直的,就像楼梯一样)。

数学迷和神经质的人都喜欢把棋子排成一排。我想,这有一种抚慰人心的作用:谁不想把散落在地上的铅笔排成一行呢?

既然说到这个话题,我们不妨也整理一下其他图案:

啊!现在比较每种 X-Ray 策略就容易多了:

  • 使用圆形环时,步数稳步增加(上斜线)
  • 使用三角形切片时,台阶大小保持不变(平直的水平线)
  • 使用矩形板时,台阶变大,达到顶峰,然后变小(向上和向下)。趋势线看起来被拉长,是因为木板被推到了底部。
  • 这些图表让策略比较变得更容易了,你说呢?当然,但等等,这条趋势线看起来不就像可怕的 X-Y 图吗?

没错。不幸的是,许多课程只是简单地展示黑色趋势线,而不向你展示它所代表的棋子。这就是痛苦的秘诀:明确图形的含义!

黑色趋势线是对 X-Ray 策略的超级概括描述。我们显示的是每一块的大小(图表高度)以及它们的大小是如何变化的(趋势方向)。

环形、片状和板状之间的区别并不重要:在微积分中,它们都是整个模式的组成部分。片“、”环 “或 ”板 “等词只是 ”整体的一部分"的描述性版本,在其他方面可以互换。

在本指南中,我们将把图表保持在上述水平:趋势线,并显示各个部分。这是为以后基于性能的课程打下基础,在这些课程中,你可以直接使用图形。但仅供参考,阿基米德在没有 x-y 图形的情况下奠定了微积分的基础,并在没有图形的情况下发现了他的结果。

参考资料

3 将X光战略带入三维空间?

3d与2d类似:

  • 有机过程是逐层贝壳生长的(牡蛎中的珍珠)。
  • 公平分割需要楔形(为朋友切苹果)。
  • 机器人平板方法似乎很容易制造(举重平板)。
  • 橘子是一种有趣的混合体:从外表看,它似乎是由贝壳制成的,随着时间的推移不断生长。但在内部,它形成了一个对称的楔形内部结构--有利于种子的均匀分布,对吗?我们可以从两个方面来分析它。

3.1 探索三维视角

在第一课中,我们模糊地认为圆/球公式是相关的:

有了 X-Ray 和 Time-Lapse 技能,我们就有了具体的概念:

  • 圆周率: 从单个圆环开始。
  • 面积: 用逐环延时法制作填充圆盘。
  • 体积: 将圆环做成一个盘子,然后逐个盘子延时制作一个球体。
  • 表面积: 用 X 射线将球体照成一堆外壳;外壳就是表面积。

哇 我们现在可以详细描述一个公式与另一个公式的关系了。凭直觉,我们知道如何通过思考 “延时摄影这个 ”或 “X 射线那个 ”将形状变形为其他版本。我们甚至可以逆向思维:从一个球体开始,用 X 射线把它变成板块,然后再用 X 射线把一个板块变成环形。

3.2 数学符号的必要性

你可能已经注意到,描述你的想法越来越难了。我们需要用物理类比(圆环、木板、楔子)来解释我们的计划: “好吧,把这个圆形区域做成一些圆盘。对,就像这样。现在把这些圆盘排成球形......"。

我喜欢图表和类比,但是否应该要求用它们来解释一个想法呢?也许不需要。

看看数字是如何发展起来的。起初,我们使用非常直观的符号来计数: I、II、III,等等。最后,我们意识到像 V 这样的符号可以代替 IIIII,而且更好的是,每个数字都可以有自己的符号。(数字 “1 ”让我们想起了以线条为基础的历史)。

数学符号在几个方面发挥了作用:

  • 符号比文字短。
  • 规则为我们工作。使用罗马数字时,我们基本上是在手工创建数字(为什么写 VIII 要比写 I 花那么多力气?就因为 8 比 1 大?这不是个好理由!)。小数帮助我们 “完成 ”表达数字的工作,并使它们易于操作。到目前为止,我们一直在自己做微积分的工作:把一个圆切成环形,意识到我们可以把它们展开,查找面积方程并测量得到的三角形。难道规则在这里帮不了我们吗?当然可以。我们只需要弄清楚它们。
  • 归纳了我们的思维。“2+3=5 “其实就是 ”2+3=5"。这听起来很奇怪,但我们有了一个抽象的量(不是人、钱或牛......只是 “twoness”),我们就知道了它与其他量的关系。算术规则是通用的,而我们的工作就是把它们应用到具体场景中。

最后一点很重要。在学习加法时,老师可能会用苹果的字面意义来表示 2 加 3 等于 5。经过足够的练习,你开始使用抽象的符号,而不需要物理例子,“2 + 3 = 5 ”就变得有意义了。

微积分与此类似:它适用于抽象方程,如:

f ( x ) = x 2 这样的抽象等式,但实际例子是一个很好的起点。当我们看到像这样的形状时:

在应用微积分技巧时,我们可以真正看到微积分的作用,而不是推来推去的符号。最终,我们可以将图形转换为相应的等式,并直接使用符号进行运算。

因此,不要认为微积分需要一个现实世界的物体,就像加法需要苹果一样。它可以分析任何形状或公式(物理方程、商业场景、函数图)--只是形状更容易入门。