图形学、02 推导证明 | 任意一点经过透视投影后 z 坐标相对于之前有什么变化

齐次坐标知识点: \(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\\end{bmatrix} \Rightarrow\begin{bmatrix} nx \\ ny \\ nz \\ n \\\end{bmatrix}\) 两个都表示同一个点

透视投影:先将远截面按一定规则缩放到跟近截面一样大,然后再正交投影

缩放规则:远截面缩放后\(z\)不变,缩放过后大小同近截面相同。

截取yz平面,\(ZNear = n,ZFar = f\) ,则任意一点经过缩放后: \(y^{’} = \frac{n}{z}y\) (相似三角形)

xz平面同理: \(x^{’} = \frac{n}{z}x\) ,即 \(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\\end{bmatrix} \Rightarrow\begin{bmatrix} \frac{n}{z}x \\ \frac{n}{z}y \\ unknown \\ 1 \\\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix}nx \\ ny \\ unknown \\ z \\\end{bmatrix}\)

如此可以确定一部分矩阵参数:

\(M_{persp\rightarrow ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\end{bmatrix}\)

对于近截面和远截面上的点,透视变换后z是不变的(缩放规则)

只看第三行的结果

\(\begin{bmatrix} A&B&C&D\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\\end{bmatrix} \Rightarrow z^2\)

显然 \(A = B = 0\) ,代入 \(Z = n ,Z = f\)

\(Cn+D = n^{2}\)

\(Cf+D = f^{2}\)

得到 \(C = n+f,D=-nf\)

最后求得

\(M_{persp\rightarrow ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\end{bmatrix}\)


课后问题:对于任意一个满足 \(n\leq z\leq f\) 的点,经过透视投影后, z 坐标相对于之前有什么变化

\(M_{persp\rightarrow ortho}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} nx \\ ny \\ (n+f)z-nf \\ z\\\end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} \frac{n}{z}x \\ \frac{n}{z}y \\ \frac{(n+f)z-nf}{z} \\ 1\\\end{bmatrix}\)

比较 \(f(z) = \frac{(n+f)z-nf}{z} - z\) 跟0的关系即可,不妨乘以一个 z 得到:

\(z*f(z) = -z^{2} + (n+f)z-nf = (z-n)(f-z)\)

\(n\leq z\leq f\)\(z*f(z) \geq 0\) ,故 \(f(z) \leq 0\)即透视投影后, z 坐标相对于以前离相机更远了

\(f(z) = \frac{(n+f)z-nf}{z} - z\) ,对 \(z\) 求偏导

\(\begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{(n+f) z-(n+f) z+nf}{z^{2}}-1 \\ \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{n f}{z^{2}}-1=\frac{nf-z^{2}}{z^{2}} \\ z^{2}=nf \quad z= \pm \sqrt{nf} \end{array}\)

\(n\)\(- \sqrt{nf}\) 单调递增,从 \(- \sqrt{nf}\)\(f\) 单调递减


分数怎么求导

\(\begin{array}{l} g(x) \neq 0 , f(x) , g(x) \text { 均可导 } \\ {\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-g^{\prime}(x) f(x)}{[g(x)]^{2}}} \end{array}\)

热门相关:名门盛婚:首席,别来无恙!   重生成偏执霍少的小仙女   紫府仙缘   悠哉兽世:种种田,生生崽   隐婚试爱:娇妻,好甜!