数据结构 - 树,初探

树是一种非线性数据结构,是以分支关系定义的层次结构,因此形态上和自然界中的倒挂的树很像,而数据结构中树根向上树叶向下。

什么是树?

01、定义

树是由n(n>=0)个元素节点组成的有限集合,当n=0时,称为空树。

对于非空树应满足以下要求:

(1)有且仅有一个根节点;

(2)当n>1时,其余节点可分成m(m>=0)个互不相交的有限集合,其中每一个集合本身又是一棵树,称为根的子树。

从定义中我们可以得到以下结论:

1)树是分支分层结构;

2)树中仅有根节点没有父节点;

3)除根节点外,其余节点有且仅有一个父节点;

4)树中每个节点,可以有零个或多个子节点;

5)根节点到任何除自身之外的节点,有且仅有一条路径;

02、术语

1、节点相关

根节点:树中仅存在一个根节点,位于树的最顶层,并且其没有父节点;

叶节点:叶节点位于树的最末端,其下层没有任何节点。

子节点:某个节点的下层节点,相对于该节点叫做子节点;

父节点:某个节点的上层节点,相对于该节点叫做父节点;

2、结构相关

深度:从根节点到某一节点所经过的边的个数;根节点为0,其子节点为1,自上而下,以此类推。

高度:从某一节点到其最远叶节点的边数。树的高度为根节点的高度,所有叶节点高度0,其父节点为1,自下而上,以此类推。

层次:指节点所在的层级,根节点为第0层,其子节点为第1层,自上而下,以此类推。

子树:在一棵树中,任何一个以某个节点为根节点的树结构。

3、关系相关

兄弟节点:拥有共同的父节点的子节点。

祖先节点:从根节点到该节点的路径上经历的所有节点,除自身外,包括父节点、祖父节点等。

后代节点:该节点的所有下层节点,包括子节点、孙节点等。

4、其他术语

树的度:指树的宽度,也可以理解为节点的分支数,即节点的直接子节点数量,所有节点中度的最大值被视为树的度;

路径和路径长度:从一个节点到另一个节点经历的所有边的序列即为路径,路径上所有边的个数即为路径长度;

森林:指若干棵互不相交的树的集合;

03、二叉树

根据节点个数我们可以把树分成两类:二叉树和N叉树。

二叉树:每个节点最多有两个子节点的树;

n叉树:每个节点最多有n个子节点的树;

其中最常用的就是二叉树,下面我们来详细聊聊二叉树。

1、定义

(1)每个节点最多有两个子节点,分别称为左子节点和右子节点;

(2)左右子节点所构成左子树和右子树也都是二叉树;

2、性质

(1)任意一颗二叉树树,若节点数为n,则边的数量为n-1;

(2)在二叉树中,第i层最多有2^i个节点;

(3)深度为k的二叉树,总节点数最少有2k个节点,最多有2(k+1)-1个节点;

(4)在非空二叉树中,如果n0表示叶节点数量,n2表示度为2(即有两个节点)的节点数量,则n0=n2+1;

3、遍历

二叉树遍历指按照特定顺序访问二叉树中所有节点,常用的遍历方式包括:前序遍历、中序遍历、后序遍历和层次遍历。

前序遍历

访问顺序:根节点->左子树->右子树

步骤

(1)访问根结点;

(2)前序遍历左子树;

(3)前序遍历右子树。

示意图

中序遍历

访问顺序:左子树->根节点->右子树

步骤

(1)中序遍历左子树;

(2)访问根结点;

(3)中序遍历右子树。

示意图

后序遍历

访问顺序:左子树->右子树->根节点

步骤

(1)后序遍历左子树;

(2)后序遍历右子树;

(3)访问根结点;

示意图

层次遍历

访问顺序:第0层->第1层->……->第n层(每层从左至右依次处理)

步骤

(1)初始化:创建一个空队列,将根节点加入队列;

(2)遍历:

当队列不为空时:

从队列中取出一个节点,并访问该节点的值;

如果该节点有左子节点,将左子节点加入队列;

如果该节点有右子节点,将右子节点加入队列;

(3)重复步骤2,直到队列为空;

示意图

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